\section{附录\thesection: Courant-Fischer定理和Cauthy特征值交织定理}\label{007}

\begin{frame}{Cauthy 特征值交织定理}
  \begin{theorem}\label{017}
  设$A$为$n$阶Hermite矩阵，令$\lambda_1(A), \cdots, \lambda_n(A)$是其$n$个实特征值，
  不妨设$\lambda_1(A)\leqslant \cdots \leqslant \lambda_n(A)$. 
  令$M_j$为$A$去掉第$j$行和第$j$列后的$n-1$阶矩阵，这也是Hermite矩阵，
  令$\lambda_1(M_j), \cdots, \lambda_{n-1}(M_j)$为$M_j$的$n-1$个实特征值，
  不妨设$\lambda_1(M_j)\leqslant \cdots\leqslant \lambda_{n-1}(M_j)$.
那么对任意的$1\leqslant i\leqslant n-1$,
\[
  \lambda_i(A)\leqslant \lambda_i(M_j)\leqslant \lambda_{i+1}(A).
\]
\end{theorem}

\end{frame}


\begin{frame}{特征向量-特征值公式}
  \begin{theorem}
    如定理~\ref{017}~中设定。
  由谱定理，存在能构成$\symbf{C}^{(n)}$的标准正交基的关联到
  $\lambda_1(A), \cdots, \lambda_n(A)$的特征向量
  $v_1, \cdots, v_n$. 令$v_{ij}$为$v_i$的第$j$分量。
  我们有
  \[
    |v_{ij}|^2 \prod_{k=1;k\neq i}^n \left( \lambda_i(A)-\lambda_k(A) \right) =
    \prod_{i=1}^{n-1}\left( \lambda_i(A)-\lambda_k(M_j) \right).
  \]
  \end{theorem}
\end{frame}
